HIPERBOLA

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante (se representa por 2a).


La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto.

En pocas palabras la hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.

La fórmula matemática de la hipérbola, centrada en el origen de coordenadas es

La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es que estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano.



Ecuaciones de la hipérbola


Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola con centro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su forma compleja.


Ecuación de la hipérbola en su forma compleja
Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una costante positiva igual al doble de la distancia (osea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.
La ecuacion queda:
Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

ELIPSE

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 Y F2, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

Para obtener una forma más simple de la ecuación de una elipse, se colocan los focos sobre el eje x en los puntos(-c,0) y (c,0) , para que el origen esté en la mitad de la distancia entre los focos. Finalmente si tomamos que la suma de las distancias desde un punto sobre la elipse a los focos es igual a 2a, entonces la ecuación de la elipse puede ser escrita como:

Elementos de una elipse

La elipse posee un «eje mayor», trazo AB (que equivale a ), y un «eje menor», trazo CD (que equivale a ); la mitad de cada uno de esos ejes recibe el nombre de «semieje», de tal manera que se los denomina «semieje mayor» y «semieje menor», respectivamente.
Sobre el «eje mayor» existen dos puntos y que se llaman «focos».
El punto es uno que pertenezca a la «elipse».
Puntos de una elipse
Si F1 y F2 son dos puntos del plano y d es una constante mayor que la distancia F1 F2, un punto Q pertenecerá a la elipse, si:

donde es el semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
Eje mayor (2 a) es la distancia mayor entre dos puntos adversos. En la figura, longitud del segmento AB.
La medida a es la mitad del eje mayor, o sea es el semieje mayor. La distancia del centro de la elipse al punto A o al punto B.
El resultado constante de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor.
Obsérvese que d(AF2) + d (AF1) = d(AF2) + d (BF2)= AB
La medida b es la mitad del eje menor, o sea es el semieje menor, la distancia del centro al punto C o al punto D.

la recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

PARABOLA

Una parábola es el conjunto de puntos  en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija  (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a  (figura 1).

Una sección cónica, es la curva de intersección de un plano con un cono circular recto. Existen tres tipos de curvas que se obtienen de esta manera: La parábola, la elipse incluyendo la circunferencia como un caso especial) y la hipérbola. (Ver fig. 6.1.)

La parábola ha tenido desde tiempos inmemoriales un fin didáctico y prueba de esto es que a través de este tipo literario, Jesús, le brindaba las diferentes enseñanzas a sus fieles seguidores, en los evangelios cristianos podemos encontrarnos con una gran cantidad de parábolas en las cuales se enseñan diferentes cuestiones a través de situaciones analógicas.
Entre las principales características de la misma se cuentan las siguientes: evoca un ambiente, describe una acción y sus resultados, involucra a un personaje que se enfrenta a un dilema moral para luego sufrir las consecuencias de esa elección, se escribe en prosa y pertenece al género épico, emplea una enorme cantidad de metáforas, carácter moralizante o didáctico, simula a la realidad y habla de acontecimiento cotidianos, narra una acción simple, singular y consistente, sin circunstancias que lleven a la distracción.
Y el otro de los usos populares que presenta la palabra parábola es aquel que se da a instancias de las matemáticas y que refiere que la parábola es una sección cónica provocada al cortar un cono recto con un plano paralelo a la directriz, en otras palabras, es una curva abierta simétrica respecto de un eje, que cuenta con un solo foco y que resultará entonces de cortar un cono circular recto por un plano paralelo a una de sus generatrices.
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